Home

Indice primo anno

Indice primo anno

 V ideolezioni PREMIUM
 V ideolezioni GRATUITE

Numeri naturali

calcola il valore delle seguenti espressioni applicando, ove possibile, le proprietà delle potenze

 V  \left [ {5}^{3}:{5}^{0}-{\left( {2}^{3}\cdot {2}^{2} :8 \right)}^{2} + {121}^{3} : 11 \right] : \left( {2}^{3}\cdot 5 \right)+{9}^{6} : {27}^{3}:3

 V  Moltiplica la differenza tra 14 e la sua metà per il quadrato della differenza tra il quadrato di 6 e il prodotto del quadrato di 3 e il quadrato di 2; aggiungi poi al risultato il cubo del quoto tra 12 e 3

 V  {2}^{10}:{2}^{7} , {10}^{8}:{10}^{8} , {\left( {2}^{3} \right)}^{2} , {{\left( {2}^{3} \right)}^{2}}:{{\left( {2}^{4} \right)}^{2}}

 V  \left [ {\frac{{2}^{10}\cdot {\left( {2}^{4} \right)}^{9}}{{\left( {2}^{19} \right)}^{2}}:{\frac{{4}^{9}\cdot {\left( {4}^{4} \right)}^{2}}{{\left( {4}^{7} \right)}^{2}}}} \right]^{3} - \left [ {\frac{{3}^{11}\cdot {\left( {3}^{5} \right)}^{10}}{{\left( {3}^{20} \right)}^{2}}:{\frac{{9}^{11}\cdot {\left( {9}^{5} \right)}^{3}}{{\left( {9}^{8} \right)}^{2}}}} \right]^{2}

 V  \left \{ \left [ \left( {2}^{3} \cdot {2}^{5} \right) :{2}^{6} - {2}^{0} \right]\cdot {\left( {3}^{2} \right)}^{3} \right \}:{3}^{5}

 V  {\left \{ \left [ {\left( 56:8 \right)}^{4} \cdot {7}^{9} \right]: {\left( 35:5 \right)}^{11} - {\left( 35:7 \right)}^{2} \right \}}^{7}:{\left( {24}^{3} \right)}^{2}-7\cdot\left( {22}^{0}+{33}^{0} \right)

 V  {4}^{6}:\left( {48}^{4} :{72}^{2} \right)

 V  \left( {5}^{2} \cdot {45}^{3} \right):\left( {15}^{4} \cdot 3 \right)

 

scomposizioni in fattori primi


 V  Scomporre in fattori primi i seguenti numeri: 1200, 1008, 1010, 2025

 V  importante Massimo Comun Divisore e minimo comune multiplo tra due o più numeri: Teoria ed esempi

 V  matematica e realtà, gare della matematica Il prodotto delle età dei miei figli vale 1664. Il minore ha la metà degli anni del maggiore e non vi sono gemelli. Quanti figli ho?

 V  math in english How many positive integers n have a remainder of 6 when 2006 is divided by n?

 

Numeri interi relativi

calcola il valore delle seguenti espressioni

 V  32 \cdot \left( {-27}^{4} \right) \cdot {\left( -18 \right)}^{2} : {\left( -12 \right)}^{3} + 2 \cdot {3}^{13}

 V  Sottrai dal prodotto di 5 per l’opposto di -9 la somma del quadrato di 3 con il cubo di -2; dividi dale differenza per -11 ed eleva il quoto alla terza. Calcola il valore dell’espressione trovata.

 

operazioni

 V  Addizioni: +2 + (-3) , -2 + (-4) , +10 + (+8) , 0 + (-3)

 V  Sottrazioni: -3 – (+4) , +2 – (-5) , -7 – (-2) , +10 – (+6)

 V  Moltiplicazioni: (-1-4)∙(-1+3)∙(-5) , (-5+7)∙(-3-4)∙(+10) , (-6-3)∙(-3-0)∙(-1-1)

 V  Divisioni: (-14) : (+7) , (-15) : (-5) , (-16) : (-4)

 V  matematica e realtà Un vascello spaziale parte dalla Terra verso un pianeta situato a 2²⁰ Km. Dopo aver percorso un quarto del tragitto perde il contatto radio. Quando il contatto viene ristabilito, il vascello si trova a 2¹⁹ Km dalla Terra. Quanti chilometri ha percorso il vascello spaziale senza contatto radio? Esprimi il risultato sotto forma di una potenza di 2.

 

calcola il valore delle seguenti espressioni applicando le proprietà delle potenze

 V  {\left [ -{\left( -2 \right)}^{2} \right]}^{2} , {\left [ -{\left( -1 \right)}^{3} \right]}^{2} , {\left [ -{\left( -2 \right)}^{3} \right]}^{2} , {\left [ -{\left( -2 \right)}^{2} \right]}^{3} , {\left [ -{\left( -1 \right)}^{2} \right]}^{3} , {\left [ -{\left( -3 \right)}^{2} \right]}^{2}

 V  \left \{ \left [ -2-{\left( -2 \right)}^{2} -{\left( -2 \right)}^{3} \right] \cdot {2}^{10} \right \} :{\left( {2}^{3} \right)}^{3} - \left [ {\left( -3 \right)}^{3} \cdot {\left( -3 \right)}^{11} \right]:{\left [ {\left( -3 \right)}^{6} \right]}^{2}

 V  \left \{ \left [ {\left( -102 \right)}^{7} \cdot {102}^{8} \right] :{\left( -102 \right)}^{14} \right \} : \left( -3 \right) - \left \{ {\left( -5 \right)}^{2} \cdot {\left [ -{\left( -5 \right)}^{6} \right]}^{2} \right \} : {\left [ -\left( {-25}^{3} \right) \right]}^{2}

 

Numeri razionali

 V  Scrivere in ordine decrescente i seguenti numeri razionali: -\frac{17}{5},\frac{13}{4},-\frac{15}{7},-1,\frac{7}{5},-\frac{7}{4}

 

operazioni con i numeri razionali

 V  Semplice test (provate a rispondere prima di guardare tutta la videolezione!)

 V  Addizioni e sottrazioni: \hspace{0.6cm}\frac{1}{10}+\frac{11}{15}-\frac{1}{20}\hspace{0.6cm};\hspace{0.6cm}\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}-\frac{1}{5}

 V  Moltiplicazioni e Divisioni: \hspace{0.6cm}\left( \frac{1}{20}+\frac{3}{5} \right)\cdot\left( \frac{1}{2}+\frac{1}{13} \right)\hspace{0.6cm};\hspace{0.6cm}\left( \frac{1}{3}-\frac{1}{12} \right):\left( \frac{1}{2}-\frac{1}{4} \right)

 V  -{3}^{2}-\left( \frac{2}{3} -1 \right)-\left [ -5-\left( \frac{1}{3} +\frac{1}{2} -1 \right) \right]-\left( 5+\frac{5}{6} \right)

 V  \left [ \left( \frac{1}{2} - \frac{2}{5} \right):\left( \frac{2}{5} -\frac{1}{4} \right)-\left( \frac{2}{3}-\frac{3}{5} \right):\left( \frac{2}{15}-\frac{4}{5} \right)-\frac{3}{10} \right]:\frac{7}{15}

 V  \left( \frac{-\frac{1}{12}-\frac{3}{4}}{-2+\frac{5}{2}}+\frac{1}{3} \right):\left( -\frac{3}{2} \right)+\left( \frac{-\frac{1}{12}+\frac{3}{4}}{-2-\frac{5}{2}}-\frac{1}{3} \right):\frac{1}{9}+4

 

calcola, applicando le proprietà delle potenze

 V  {\left( -\frac{36}{25} \right)}^{7} : {\left( -\frac{9}{5} \right)}^{7}\hspace{0.6cm} ,\hspace{0.6cm} -{\left( \frac{3}{4} \right)}^{5} \cdot {\left( -\frac{16}{3} \right)}^{5}:{\left( -\frac{8}{9} \right)}^{5} \cdot {\left( +\frac{4}{27} \right)}^{5}

 V  {\left [ \frac{{2}^{-3}:{2}^{-8}}{{8}^{-1}:{32}^{-3}} \cdot {2}^{7} +\frac{{\left( \frac{1}{3} \right)}^{5}\cdot{9}^{4}}{{\left( - \frac{1}{27} \right)}^{-4}:{3}^{-11}} :{3}^{-20}\right]}^{5}

 V  {\left [ \frac{{\left( {2}^{-4} \right)}^{2}:{\left( {4}^{8} \right)}^{-1}}{{16}^{3}} \right]}^{4}:{\left( \frac{1}{4} \right)}^{7}+{\left [ {\left( \frac{12}{5} \right)}^{8} \cdot{\left( -\frac{5}{9} \right)}^{8}:{\left( \frac{3}{4} \right)}^{-7} \right]}^{-1}

 

frazioni decimali

 V  Trasformare le seguenti frazioni decimali in numeri decimali: \frac{3}{100};\frac{1}{1000},\frac{17}{10},\frac{7}{10000},\frac{31}{100},\frac{7239}{100000},\frac{973}{1000}

 V  Trasformare i seguenti numeri decimali in frazioni decimali: 0,012 ; 127,3 ; 6,274 ; 13,22 ; 2,007 ; 0,97040

 V  Determina le frazioni generatrici dei seguenti numeri decimali: 0,0\bar{5} ; 1,0\bar{6} ; 4,\bar{7} ; 5,3\bar{6} ; 5,\bar{36} ;1,1\bar{2}
 

proporzioni

 V  Determinare il valore del termine x nelle seguenti proporzioni: 0,\bar{3} :x=2:\frac{24}{5} \hspace{0.6cm} ; \hspace{0.6cm} \frac{1}{8}:\frac{2}{3}=\frac{9}{16}:x

 V  Determina il valore del termine in x nelle seguenti proporzioni: 2 : x = x : 72 , con x < 0 ; 16 : x = x : 4 , con x > 0

 V  Applicando le proprietà del comporre e dello scomporre trova il termine in x nelle seguenti proporzioni:

\left( \frac{1}{3} +x \right):x=\frac{5}{2}:\frac{3}{5}\hspace{0.3cm};\hspace{0.3cm}\left( x- \frac{4}{5} \right):x=\frac{8}{5}:\frac{9}{4}\hspace{0.3cm};\hspace{0.3cm}\left( \frac{3}{4} -x \right):\frac{5}{8}=x:\frac{5}{4}

 V  Determinare due numeri proporzionali a 7 e a 3 sapendo che la loro differenza è 256

 

Insiemi

rappresentazione degli insiemi

 V  Le città più importanti d’Italia formano un insieme? E quelle capoluogo di regione?

 V  Individua la proprietà caratteristica degli elementi del seguente insieme, dandone poi una rappresentazione intensiva

A=\left \{ \frac{3}{1};\frac{4}{2};\frac{5}{3};\frac{6}{4};\cdots \right \}

 V  Rappresenta in modo estensivo l’insieme A = {xZ | x² < 8}

 V  Stabilisci se gli insiemi A = {x ∈ N | 7 < x ≤ 12} e B = {x ∈ N | 8 ≤ x < 13} sono uguali.

 V  Stabilisci se gli insiemi A = {x ∈ N | x è pari e 5 ≤ x ≤ 11} e B = {x ∈ N | x è pari e 6 ≤ x < 10} sono uguali.

 

i sottoinsiemi

 V  Scrivi due parole le cui lettere formino rispettivamente due insiemi A e B in modo che sia A ⊂ B

 V  Dati gli insiemi A = {0 , 1 , 2} , B = {1 , 2 , 3 , 4} , C = {1 , 3 , 5} , determina gli insiemi A∪(BC) , B∪(AC) , A∩(BC) , C∩(AB)

 V  Completa l’insieme X = {1 , 2, …} con il minimo numero possibile di elementi in modo che l’insieme Y, formato dai divisori di 16, risulti un sottoinsieme improprio di X

 V  Diagrammi di Venn Siano A = {x ∈ N | 2 < x ≤ 4}, B = {x ∈ N | x divide 12}, C = {x ∈ N | x è pari e x ≤ 8}. Rappresenta, per elencazione e mediante diagrammi di Venn, gli insiemi: A ⋂ B ⋂ C, (B – A) ⋂ C, (A ⋃ B) ⋂ CB – (A ⋃ C)

 

operazioni con gli insiemi

 V  Considerato N come insieme ambiente determina, sia in modo estensivo sia in modo intensivo, il complementare dell’insieme A = {xN | x > 4}

 V  Scrivi tutte le partizioni dell’insieme A = {1 , 2 , 3}

 V  Sono dati gli insiemi A = {1, 2}, B = {1, 2, 3}, C = {3, 4}; verifica che: (A ⋂ B) × C = (A × C) ⋂ (B × C)

 

esercizi di riepilogo

 V  matematica e realtà In una scuola americana 60 alunni frequentano il corso d’italiano, 60 quello di francese e 120 quello di spagnolo. Tutti frequentano almeno uno dei tre corsi, 10 li frequentano tutti e tre, 30 frequentano almeno sia italiano sia spagnolo, 77 almeno due corsi e 34 frequentano francese e spagnolo, ma non italiano. Trova quanti frequentano italiano e francese ma non spagnolo, quanti italiano e spagnolo ma non francese, quanti solo italiano, quanti solo francese e quanti solo spagnolo.

 V  Usando il concetto di insieme, interpreta il significato delle seguenti frasi: «Un numero pari è divisibile per 4» ; «Un numero divisibile per 4 è pari». Le due affermazioni sono entrambe vere?

 V  gare della matematica Quanti sono i numeri interi positivi multipli di almeno uno tra 5 e 7 e minori o uguali di mille?

 V  math in english, gare della matematica Let A be the set of all primes less than 100. Let B be the set of all numbers whose units digit is 7. Let C be the set of all numbers whose leading digit is multiple of 3. What is the size of A ∩ (BC) ?

 V  math in english, gare della matematica How many subset of {n | n > 0 and n is multiple of 3 less than 100} are also subset of {n | n > 0 and n is multiple of 4 less than 100}?

 

Relazioni

il concetto di relazione

 V  È data la relazione R: « x precede y in ordine alfabetico » con xA = { a, b, d, f } e yB = { a, c, e, g }. Stabilisci se le seguenti scritture sono vere o false: a R c , b R c , f R a , d R a. Quali sono le immagini di b? Qual è il dominio di R? Qual è l’immagine di R?

 V  È data la relazione R: « x è il doppio di y » con xA = { 1, 4, 6, 9 } e yB = { 1, 2, 3 }. Stabilisci quali affermazioni sono vere e quali sono false: il dominio di R è { 1, 4, 6 } , l’immagine di 9 è 3 , l’immagine di R è { 2, 3 } , per ogni yB, risulta 1 R y, esiste un elemento xA tale che x R 1

 

rappresentazione di una relazione

 V  Ciascuno dei seguenti quattro grafi è la rappresentazione di una delle seguenti quattro relazioni definite in A = {1 , 2 , 3 , 4}: «x è multiplo di y» , «x è il doppio di y» , «x è un divisore di y» , «x è il quadrato di y». Associa a ciascun grafo la relazione corrispondente.

relazioni-primo

 V  Dati gli insiemi A e B rappresenta, in tutti i modi possibili, la relazione indicata, dove xA e yB.
A = { 1, 2, 3 } e B = { 4, 5, 6 }. « x R y se e solo se x + y è dispari ».

 

relazioni definite tramite un enunciato aperto

 V  Stabilisci se la seguente relazione, definita nell’insieme indicato, è riflessiva, antiriflessiva, simmetrica, antisimmetrica o transitiva. Nell’insieme dei triangoli, « x e y hanno lo stesso perimetro »

 V  Stabilisci se la seguente relazione, definita nell’insieme indicato, è riflessiva, antiriflessiva, simmetrica, antisimmetrica o transitiva. Nell’insieme A = { 1, 2, 3, 4 }, « la somma tra x e y è maggiore o uguale a 3 »

 

riconoscimento di una relazione di equivalenza

 V  Stabilisci se le seguenti relazioni sono d’equivalenza: In N, « x è multiplo di y » ; In N, « x ha lo stesso numero di cifre di y » ; In Z – {0}, « il prodotto tra x e y è positivo »

 

classi di equivalenza e insieme quoziente

 V  Verifica che la seguente relazione è d’equivalenza nell’insieme indicato; poi determina le classi di equivalenza e l’insieme quoziente. Nell’insieme A=\left \{ \frac{3}{4},\frac{7}{5},\frac{9}{12},\frac{49}{35},\frac{5}{7},\frac{25}{49},\frac{15}{21} \right \} « x e y sono due frazioni equivalenti »

 

relazioni d’ordine

 V  Stabilisci se, nell’insieme indicato, la seguente relazione è una relazione d’ordine; in caso affermativo, specifica se l’ordine è stretto o largo, parziale o totale. In un insieme di persone, « x è nato prima di y »

 

Logica dei Predicati

 V  Dati i predicati p(x): x + 2 > 0 e q(x): x – 3 < 0 con xZ stabilisci se sono veri o falsi gli enunciati p(1) ⋀ q(1) , p(-3) ⋁ q(-3) , p(-1) → q(4)

 V  Dati i predicati a(x): x è divisibile per 8 e b(x): x è multiplo di 4 , con xN, è vero l’enunciato ∀x (a(x) ↔ b(x))?

 

Monomi

il calcolo letterale e le espressioni algebriche

 V  Riduci a forma normale i seguenti monomi e indicane poi il coefficiente e la parte letterale:

\frac{2}{3}{a}^{3}\cdot\left( -3ab \right)\hspace{0.6cm},\hspace{0.6cm}\frac{x}{3}\left( -2x \right)\left( -6{x}^{2} y \right)\hspace{0.6cm},\hspace{0.6cm}\left( +\frac{2}{5} \right)ab\left( -3 \right)ab

 V  Scrivi sotto forma di monomio: il triplo di un numero a, la metà del quadrato di un numero a, i ¾ del prodotto tra il cubo di a e i ⅔ del quadrato dello stesso numero a, l’opposto del quadruplo del prodotto di due numeri dati x e y

 V  Calcola, se esiste, il valore della seguente espressione, in corrispondenza dei valori delle variabili indicate.

\frac{\frac{1}{a+{b}^{-1}}+\frac{1}{a-{b}^{-1}}}{\frac{1}{a}-\frac{1}{b}}\hspace{0.6cm}\hspace{0.6cm}\space               per a = 4 e b = -½

 

semplifica

 V  {\left( \frac{1}{2}-\frac{1}{4} \right)}^{-1}{a}^{2}b+\frac{1}{3}a{b}^{2}-{3}^{-1}{a}^{2}b+{\left( \frac{1}{2} +1 \right)}^{-1}a{b}^{2}+\frac{{7}^{0}}{3}{a}^{2}b

 V  \frac{1}{7}{x}^{3}{y}^{2}\left( -7x{z}^{2} \right)\left( -2x{y}^{2} \right)-4xy{x}^{2}\left( -\frac{1}{2}{x}^{2} \right)\left( +{x}^{2}{y}^{3} \right)

 V  14{x}^{3}:{\left( +2x \right)}^{2}+{\left \{ {\left [ -2x {\left( -\frac{1}{2} y \right)}^{2} \right]}^{2} \right \}}^{2}:\left [ \left( -\frac{3}{8} {x}^{3} \right){\left( -{y}^{2} \right)}^{4} \right]

 V  {\left [ 4{\left( -\frac{1}{2}{a}^{2}b \right)}^{3} \right]}^{2}+5{\left( -\frac{1}{2} {a}^{4}{b}^{2} \right)}^{3}+19{\left( -\frac{1}{2} {a}^{3}{b}^{2} \right)}^{2}\left( \frac{1}{2} {a}^{6} {b}^{2} \right)

 V  {\left( -2pq \right)}^{2}:\left( +p{q}^{2} \right)-\left( -2{p}^{2} \right):\left( -4p \right)+\left \{ \left [ 4p {\left( -\frac{1}{2} {p}^{2}{q}^{3} \right)}^{2} \right] :{\left( p{q}^{2} \right)}^{3} \right \}:\left( +2p \right)

 

Massimo Comune Divisore e minimo comune multiplo tra monomi

 V  importante M.C.D. e m.c.m.: teoria ed esempi

 V  importante Calcola il M.C.D. e il m.c.m. dei seguenti gruppi di monomi: 3a²b² , -12a²b³c² , 18b²c⁴
 

 V  gare della matematica Nella figura indicata, il raggio del cerchio esterno è il doppio di quello del cerchio interno. Quanto vale il rapporto tra l’area della regione colorata e l’area della regione bianca all’interno?

cerchio-primo

 V  gare della matematica Andrea ha calcolato il volume di una sfera ma, nell’applicare la nota formula, ha utilizzato per errore il diametro invece del raggio. Che cosa dovrebbe fare del risultato ottenuto per giungere alla risposta corretta?

 

Polinomi

 V  Test sui polinomi: vero o falso – esercizio preliminare

 

operazioni tra polinomi – semplificare le seguenti espressioni

 V  \left( -5{m}^{2} +7m-4 \right)-\left [ -\left( 3{m}^{2}-13m \right) +\left( {m}^{2} -8 \right) \right]-\left \{ 3{m}^{2} -\left [ \left( 6{m}^{2} +m \right) -\left( -5m-4 \right) \right] \right \}

 V  -2{x}^{3}\left [ -3x\left( 2x-1 \right) +6x\left( 1+x \right) \right]+{\left( -3{x}^{2} \right)}^{2}\left( 2-3x \right)

 V  \left( \frac{1}{2}a-b \right)\left( 2a+b \right)+\left( a-\frac{1}{2}b \right)\left( 2a+b \right)-\left [ {a}^{2} +\frac{1}{2}{b}^{2} -{\left( 2ab \right)}^{2}:\left( -8ab \right) \right]

 V  2a{b}^{2}\left( -8a+5 \right)-\left \{ {a}^{3}-4a\left [ \frac{1}{3}ab\left( 2a+\frac{13}{4}\right)-5\left( \frac{4}{5}ab-\frac{3}{10}a-\frac{1}{2}b \right)\left( \frac{1}{6}a-b \right) \right] \right \}

 V  Triangolo di Tartaglia Triangolo di Tartaglia: teoria ed esempi:      (x + 2y)⁵  ,  (a² + 2b)⁵

 

prodotti notevoli

 V  importante , Quadrato di binomio  Quadrato di binomio: Teoria ed esempi

 V  {\left( 2-{x}^{4} \right)}^{2}\hspace{0.6cm},\hspace{0.6cm}{\left( 1-{x}^{6} \right)}^{2}\hspace{0.6cm},\hspace{0.6cm}{\left( {x}^{2} -3xy \right)}^{2}\hspace{0.6cm},\hspace{0.6cm}{\left( {x}^{3}-2x{y}^{2} \right)}^{2}

 V  \left( \frac{1}{2}x -\frac{1}{3}{y}^{3} \right)\left( \frac{1}{3}{y}^{3}-\frac{1}{2}x \right)

 V  {\left [ {\left( \frac{5}{6}a+\frac{1}{2}b \right)}^{2}+{\left( \frac{2}{3}a-\frac{1}{6}b \right)}^{2}-{\left( \frac{3}{2}a+\frac{1}{3}b \right)}^{2}+\left( \frac{5}{3}a+b \right)\left( \frac{2}{3}a+\frac{4}{3}b \right) \right]}^{2}-{b}^{2}{\left( \frac{3}{2}a+\frac{5}{2}b \right)}^{2}

 V  Quadrato di trinomio Quadrato di trinomio: teoria ed esempi

 V  {\left( 3{a}^{2}+2ab-{b}^{2} \right)}^{2}-{\left( 2{a}^{2} -2ab+{b}^{2} \right)}^{2}-{5a}^{2}\left( a-b \right)\left( a+2b \right)

 V  importante Somma per differenza  Somma per differenza: teoria ed esempi

 V  \left( {2}^{11} + {2}^{10} \right) \cdot \left( {2}^{11} - {2}^{10} \right)\hspace{0.6cm},\hspace{0.6cm}\left( {2}^{13} - {2}^{10} \right) \cdot \left( {2}^{13} + {2}^{10} \right)

 V  \left( \frac{1}{4} +x \right)\left( -\frac{1}{4}+x \right)\hspace{0.6cm},\hspace{0.6cm}\left( -\frac{2}{3}x+\frac{3}{2}y \right)\left( \frac{3}{2}y+\frac{2}{3}x \right)\hspace{0.6cm},\hspace{0.6cm}\left( \frac{xy}{10}-1 \right)\left( -\frac{xy}{10}-1 \right)

 V  \left( {x}^{3}-1 \right)\left( {x}^{3}+1 \right)\left( {x}^{6}+1 \right)+\left( 2-{x}^{6} \right)\left( 2+{x}^{6} \right)

 V  \left( 3{a}^{3}{b}^{2}-6{a}^{4}{b}^{3} \right):\left( -3{a}^{3}{b}^{2} \right)\cdot\left( \left( 1+2ab \right) \right)

 V  Cubo di binomio Cubo di binomio: teoria ed esempi

 V  {\left( -x-2 \right)}^{3}\hspace{0.6cm},\hspace{0.6cm}{\left( 2x+3y \right)}^{3}

 V  5b\left( 1+\frac{1}{4}b \right)+\left( {{b}^{2}+b-1} \right)^{2}-{\left( b+1 \right)}^{3}-{b}^{2}\left( b+\frac{1}{2} \right)

 

problemi

 V  In un rettangolo un lato misura 1 unità più dell’altro. Detta x la misura del lato minore, esprimi, in funzione di x, la misura dell’area di un quadrato che ha lo stesso perimetro del rettangolo

 V  Dimostra che, aggiungendo a un numero di due cifre il numero con le cifre invertite, si ottiene sempre un multiplo di 11

 

Divisibilità dei Polinomi

 V  Esercizi preliminari sulla divisione tra polinomi e monomi

 

algoritmo della divisione

 V  importante Algoritmo della divisione: teoria ed esempio dettagliato: (2m⁴ – m² + m³ + 1) : (2m + 3)

 V  (2x⁴ + 5x³ + 4x² + x – 1) : (2x + 1)

 V  \left( -\frac{4}{3}{y}^{3}+y+2{y}^{4} -\frac{4}{3} {y}^{2} \right):\left( \frac{1}{3}{y}^{2} -2 \right)

 

regola di Ruffini

 V  importante , Regola di Ruffini Regola di Ruffini: teoria ed esempio dettagliato: (y⁵ – 2y⁴ – y – 1) : (y + 1)

 V  importante , Regola di Ruffini Regola di Ruffini: teoria ed esempio dettagliato: (4x³ – 2x – 1) : (2x + 1)

 V  Determina per quale valore di k il polinomio x³ + x² + 2x + k è divisibile per il binomio x + 3

 V  Qual è il polinomio dividendo sapendo che il divisore è x – 2, il quoziente x² + 1 e il resto è +5?

 

Scomposizione di Polinomi

raccoglimento totale e parziale

 V  Scomporre (raccoglimento totale):

4{a}^{5}+2{a}^{4}-2{a}^{3}\hspace{0.2cm},\hspace{0.2cm}\frac{1}{4}{a}^{5}-\frac{1}{2}{a}^{3}-{a}^{2}\hspace{0.2cm},\hspace{0.2cm}{x}^{3}y{z}^{2}-{x}^{2}z+x{y}^{3}{z}^{3}\hspace{0.2cm},\hspace{0.2cm}\frac{2}{3}{x}^{2}-\frac{1}{2}{x}^{6}

 V  Scomporre (raccoglimento totale): (x + y)² – x² (+ y) – y (+ y)

 V  Scomporre (raccoglimento parziale): 4a² + 6ab + 6a + 9b  ,  axa + (x – 1)²  ,  x² – xy + b (xy)² – 2x + 2y

 

scomposizioni usando prodotti notevoli

 V  Scomporre (differenza di quadrati): 36ab² – c⁶ , 9x⁴ – 1 , (x + y)² – (a + b)² , 4(x + y)² – 9z²

 V  Scomporre (differenza di quadrati di cui uno almeno è un trinomio): x⁴ – 2x²y² + y⁴ – 4 , x² + y² – z² – w² – 2xy + 2zw

 V  Scomporre (quadrato di binomio): x⁴ + 2x² + 1 , 4a² – 4a + 1 , x² + 2x(a + b) + (a + b)² , 4a⁴ + 2a²(a + 1) + (a + 1)² 

 V  Scomporre (cubo di un binomio): 8x⁹ + 12x⁶ + 9x³ + 1  ,  x⁶ – 6xy³ + 12x²y⁶ – 8y

 V  Scomporre (quadrato di un trinomio): x⁶ + 2x⁴ – 2x³ + x² – 2x + 1

 V  Scomporre (somme e differenza di cubi):         {a}^{3}+\frac{1}{8}\hspace{0.6cm},\hspace{0.6cm}-\frac{8}{27}+{a}^{3}{b}^{3}

 V  Scomporre (trinomio di secondo grado): a² – 3a – 10  ,   b² + 3b – 18

 V  Scomporre (trinomio di secondo grado): 2x² + 3x – 5  ,  3x² – 2x – 8

 V  Scomporre (trinomio di secondo grado – approfondimento): a⁴ + 4  ,  x⁴ + x² + 1

 V  Scomporre (trinomio di secondo grado con coefficienti letterali): x² + mx – 2m²  ,  x² + 4ax – 12a²

 V  Scomporre (trinomio riconducibile al trinomio di secondo grado): x⁴ + 3x² + 2  ,  2x¹⁴ – 5x⁷ – 3

 V  Scomporre (regola di Ruffini): t³ + 2t² – 5t – 6

 V  importante Massimo Comune Divisore e minimo comune multiplo di polinomi

 V  Scomporre (esercizi di riepilogo): 3x – 6yx² – 4y² + 4xy  ,  1 + 6axa² – 9x²  ,  y² – 3y + 2 + xy – 2x  ,  x²bx² – 4x + 12 – 2bx

 

Frazioni Algebriche

 V  Scrivi l’espressione algebrica che esprime l’espressione descritta a parole: il rapporto tra un numero naturale n e il quadrato del suo successivo; il rapporto tra un numero naturale n e la somma del quadrato di n con 1.

 V  Scrivi l’espressione algebrica che esprime l’espressione descritta a parole: il reciproco della somma dei quadrati di due numeri x e y. il quadrato del reciproco della somma di un numero x con un numero y.

 

determina le condizioni di esistenza delle seguenti frazioni algebriche

 V  \frac{a}{{a}^{4}+{a}^{2}}\hspace{0.6cm},\hspace{0.6cm}\frac{xy}{{x}^{4}+{5x}^{2}}\hspace{0.6cm},\hspace{0.6cm}\frac{1}{{x}^{2}+x}

 V  \frac{1}{{\left( x - 1 \right)}^{2}-36}

 

ridurre allo stesso denominatore le seguenti frazioni algebriche

 V  \frac{2x+6}{{x}^{3}-1}\hspace{0.6cm},\hspace{0.6cm}\frac{1}{{x}^{2}+2x-3}

 V  \frac{a}{2a+2b}\hspace{0.6cm},\hspace{0.6cm}\frac{1}{4{a}^{2}-4{b}^{2}}\hspace{0.6cm},\hspace{0.6cm}\frac{1}{3{a}^{2}-3ab}

 

semplificazione di frazione algebriche

 V  \frac{3ab+3a}{{b}^{2}-1}\hspace{0.6cm},\hspace{0.6cm}\frac{{x}^{4}+{x}^{2}}{{x}^{2}-1}\hspace{0.6cm},\hspace{0.6cm}\frac{{x}^{6}-{x}^{2}}{{x}^{3}-x}\hspace{0.6cm},\hspace{0.6cm}\frac{2{a}^{2}-5a+2}{2{a}^{2}+5a-3}

 

operazioni con le frazioni algebriche

 V  \frac{a-b}{a+b}-\frac{2\left( b-a \right)}{a+b}\hspace{0.6cm},\hspace{0.6cm}\frac{3x}{x+1}-\frac{x-2}{x+1}\hspace{0.6cm},\hspace{0.6cm}\frac{1}{{x}^{2}-2x+1}-\frac{x}{{x}^{2}-2x+1}

 V  \frac{4{x}^{2}-4}{{x}^{2}+4x+4}\cdot\frac{{\left( {x}^{2}-4 \right)}^{2}}{2x+2}

 V  \frac{{a}^{4}b+{a}^{3}{b}^{2}}{a+x}:\frac{{a}^{3}b+{a}^{2}{b}^{2}}{ab+ax+bx+{x}^{2}}

 V  {\left( \frac{{x}^{2}{y}^{3}}{x+y} \right)}^{2}\hspace{0.6cm},\hspace{0.6cm}{\left( \frac{{a}^{2}{b}^{3}}{{a}^{3}b{c}^{5}} \right)}^{-3}

 

semplificazione di espressioni algebriche

 V  \frac{1}{{x}^{2}y}+\frac{1}{x{y}^{2}}-\frac{1}{{x}^{2}y-x{y}^{2}}-\frac{x+y}{{x}^{2}{y}^{2}}

 V  \left [ {\left( \frac{3a+2b}{3a-2b}-1 \right)}^{2}:{\left( 1-\frac{3a-2b}{3a+2b} \right)}^{2}-\left( \frac{3a+2b}{3a-2b}-\frac{3a-2b}{3a+2b} \right)\cdot\frac{9{a}^{2}-4{b}^{2}}{24ab} \right]\cdot\left( \frac{9{a}^{2}+4{b}^{2}}{12ab-1} \right)

 

Equazioni

 V  Stabilire se quelle indicate a fianco sono soluzioni delle equazioni corrispondenti: 2x² – x + 1 = 0 , x = 1 ; 2x² + 8x = 0 , x = -4

 V  importante Applicazione dei principi di equivalenza alle equazioni, 4 esempi.

 V  Forma normale e grado di un’equazione: teoria ed esempi

 V  Equazioni indeterminate e impossibili, 2 esempi

 

equazioni numeriche intere

 V  (x + 2)³ – (x + 1)³ = (2x – 1)(2x + 1) – x²

 V  \frac{\frac{x-1}{2}}{\frac{3}{4}-\frac{1}{5}}-\frac{7}{11}=1

 V  \frac{3}{4}{\left( \frac{2}{3}x-1 \right)}^{2}-\left( \frac{1}{6}x-1 \right)\left( 2x+\frac{3}{2} \right)=\frac{1}{6}\left( \frac{3}{2}x+9 \right)

 

equazioni numeriche frazionarie

 V  \left \{ {\left [ 1+\left( 2x-1-\frac{4{x}^{2}}{2x+1} \right)\left( 1+\frac{x}{x+1} \right) \right]}^{2} -\frac{{x}^{2}-2x}{{x}^{2}-1} \right \}\cdot\frac{{x}^{2}+2x+1}{4x}=\frac{1}{2}

 

equazioni frazionarie

 V  \frac{1}{{x}^{2}-4}+\frac{1}{{x}^{2}+2x}=\frac{3}{{x}^{2}-2x}

 

 V  matematica e realtà Simona ha 15 anni più di Carla e, se si divide l’età di Simona per quella di Carla, si ottiene per quoziente 2 e per resto 3. Quanti anni hanno le due ragazze?

 

equazioni di grado superiore risolubili mediante la legge di annullamento del prodotto

 V  x² + 3x = 10 , 2x² – x -1 = 0 , 2x² + x = 1

 

risoluzione e discussione di equazioni letterali

 V  (2xm)² + (x – 2m)² = 5(x + m)(xm) – 2(4x + 3m²) 

 V  \frac{x-2a}{2}+\frac{1}{3}\left( a-x \right)=\frac{2ax-3a}{6}

 V  \frac{x}{k}+\frac{x+1}{k+1}=2

 V  importante Discussione di due equazioni letterali frazionarie: teoria ed esempi

 

Disequazioni

disequazioni lineari

 V  3\left( x-1 \right)-2\left( 4-x \right)>2\left( 1-x \right)-3\left( x-4 \right)

 V  \frac{{\left( x-1 \right)}^{2}}{5}-\frac{{\left( x+1 \right)}^{2}}{4}>-\frac{{x}^{2}}{20}

 V  \frac{5}{9}+\left( 3x+2 \right)\left( 3x-2 \right)>8{x}^{2}+{\left( x+\frac{2}{3} \right)}^{2}+\frac{2\left( 2+3x \right)}{3}-3

 V  \begin{cases} \left( 2-x \right)\left( 2+x \right) > {\left( x+2 \right)}^{2}\\ 2-\left [ x-\left( 2-x \right) \right] \geq -\frac{3}{2}x\\ 0,2x>-\left( 1-x \right){\left( 2,5 \right)}^{-1} \\ \end{cases}

 

disequazioni frazionarie

 V  \frac{{\left( x+1 \right)}^{2}-\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)}{6-3x} \geq \frac{{x}^{2}-{\left( x+2 \right)}^{2}}{2x+4}

 

problemi che hanno come modello disequazioni

 V  Due numeri reali non negativi sono tali che il maggiore supera di 1 i 3/2 dellaltro. La somma tra la metà del numero minore e 1/3 del numero maggiore non supera 10. Come può variare il numero minore?

 V  In un rettangolo un lato è lungo 2 cm più dell’altro. Come dev’essere la lunghezza del lato minore, se si vuole che l’area del rettangolo che si ottiene aumentando di 2 cm ciascuno dei due lati sia almeno 30 cm² in più dell’area del rettangolo originario?

 

Funzioni

dominio e codominio di una funzione

 V  Determina il dominio delle seguenti funzioni razionali:

y=\frac{x}{0,5x-5}\hspace{0.6cm},\hspace{0.6cm}y=\frac{x+2}{2{x}^{2}-72}\hspace{0.6cm},\hspace{0.6cm}y=\frac{1}{{x}^{3}-4x}

 V  Determina il codominio C delle seguenti funzioni di cui è assegnato il dominio A

A=\left \{ 0 , 3 , 4 \right \}\hspace{1.5cm} f:x\rightarrow \sqrt{x+1}

A=\left \{ -4 , 0 , 4 \right \}\hspace{1.5cm} f:x\rightarrow \sqrt{9+{x}^{2}}

 

funzioni composte

 V  Date le funzioni f: ℤ ➝ ℤ e g: ℤ ➝ ℤ , determina l’espressione analitica di f ∘ g e di g ∘ f       f(x) = x – 2     ,     g(x) = x³

 

il piano cartesiano – funzioni e grafici

 V  importante Rappresenta i seguenti punti nel piano cartesiano (scegli la stessa unità di misura sui due assi) e specifica a quale quadrante o a quale asse essi appartengono. A(0,-4) , B(-5,1) , C(2,6) , D(-1,-2) , E(-7,0) , F(6,-3) , G(0,6) , H(-4,4)

 V  importante Disegna le rette di equazione: y = x , y = – x , y = ½ x , y = – ½ x

 V  Quesiti a risposta multipla sui seguenti grafici:

grafici-primo

 V  Considera le due funzioni: f(x)=ax + 2 e g(x) = bx – 3. Determina a in modo che f(2) = -4. Determina b in modo che g(-3) = -9. Traccia i grafici delle due funzioni f e g in corrispondenza dei valori di a e b trovati. Individua graficamente il punto di intersezione dei grafici delle due funzioni f e g.funzione lineare

 

il piano cartesiano – funzioni e grafici

 V  Il numero y di kilogrammi di acqua contenuti in un corpo umano è con buona approssimazione direttamente proporzionale al peso x del corpo (in kg). Sapendo che il corpo di una persona di 69 kg contiene 46 kg d’acqua, scrivi la formula che esprime y in funzione di x e rappresentala graficamente. Quanti kilogrammi d’acqua contiene approssimativamente il corpo di una persona di 75 kg?

 V  Il numero y di giorni impiegato per svolgere un certo tipo di lavoro è inversamente proporzionale al numero x di operai presenti. Sapendo che, in presenza di 12 operai, il lavoro viene completato in 4 giorni, scrivi la legge che lega y a x e rappresenta la funzione definita da tale legge. Quanti giorni occorrono per completare il lavoro in presenza di 6 operai? Quanti operai sono necessari per completare il lavoro in 1 giorno e mezzo?

 

Statistica

 V  Si sono rilevati gli stipendi mensili (in euro) degli impiegati di una piccola azienda e si sono ottenuti i seguenti dati grezzi:
Schermata 2016-08-22 alle 15.41.04Costruisci la tabella che rappresenta la distribuzione delle frequenze assolute, relative e percentuali degli stipendi rilevati.

 V  Un ristorante propone 10 diversi primi piatti i cui prezzi presentano la seguente distribuzione di frequenze:
Schermata 2016-08-22 alle 15.47.12Qual è il prezzo medio di un primo? Se il proprietario decidesse di raddoppiare il prezzo di ciascun piatto, quale diventerebbe il prezzo medio di un primo? Se il proprietario decidesse di aumentare del 10% il prezzo di ciascun piatto, quale diventerebbe il prezzo medio di un primo?

 V  Dati e previsioni: Andrea ha ottenuto in quattro compiti in classe i seguenti voti: 5, 7, 6, 8. Calcola la media e la deviazione standard dei voti di Andrea. Se il professore di Andrea decidesse di aumentare i voti di tutti i compiti in classe di 1 punto, quali diventerebbero la media e la deviazione standard dei voti di Andrea?