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Indice quarto anno

Indice quarto anno

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Funzioni, equazioni e disequazioni esponenziali

risolvi le seguenti equazioni

 V  {e}^{4x}-{e}^{2x+1}-{e}^{2x}+e=0

  \frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}=-\frac{1}{{3}}

 V  Risolvi la seguente equazione usando opportune sostituzioni:   \frac{1}{{4}^{1-3x}}+{2}^{3x+1}= \frac{1}{{4}^{2 -3x}}+{2}^{3x+3}

 

risolvi le seguenti disequazioni

 V  \sqrt{{2}^{x}}\leq {2}^{\sqrt{x}}

 V  \frac{1}{{2}^{2x}-4}-\frac{1}{{2}^{x}-2}>\frac{1}{{2}^{x}+2}

 V  Disequazione frazionaria → \frac{{2}^{2x+1}-5\cdot{2}^{x}+2}{4\cdot{3}^{x}-{3}^{2x+1}-1}<0

 

Funzioni, equazioni e disequazioni logaritmiche

funzione logaritmica

 V  Determina il dominio della funzione logaritmica di cui è data l’equazione:    y=ln\frac{x+1}{x-2}

 V  Semplifica la seguente espressione:     ln10-log\hspace{0.15cm}e\cdot ln100-\frac{1}{log\hspace{0.15cm}e}

 

proprietà dei logaritmi

  1+{log}_{2}({x}^{2}-1)=3\hspace{0.1cm}{log}_{8}3+{log}_{2}(3x-2)

 

equazioni logaritmiche

 V  {log}_{3}\left( \sqrt{{3}^{x}} -8\sqrt[4]{{3}^{x}} \right)=2

 

disequazioni logaritmiche

 V  ln(x-2)\geq 0

 V  {log}_{\frac{1}{3}}({x}^{2}+4)+{log}_{3}(x-3)\leq {log}_{\frac{1}{3}}(x+1)

 V  ln\frac{x-1}{x+1}<1

 

equazione esponenziale risolubile con i logaritmi

 V  Risolvi la seguente equazione esponenziale:  \frac{1-{2}^{x+1}}{{2}^{x}}+\frac{3+6\cdot{2}^{x}}{{2}^{x}+2}= \frac{11}{{4}^{x}+{2}^{x+1}}

 

Richiami di goniometria e formule goniometriche

 V  Un angolo di un triangolo è di 80° 20′ e un secondo angolo di 1 radiante. Calcola l’ampiezza del terzo angolo in gradi

 V  Dopo averne trasformato l’equazione in una che sia del tipo y = A ⋅ sin(x + ) + c, traccia il grafico della seguente funzione e individuane i punti di massimo e i punti di minimo:    y = √3 cos xsin x

 V  Esprimi in funzione di \alpha la seguente espressione, usando anche le formule di bisezione, e semplificala. Supponi che gli argomenti assumano valori per cui tutte le espressioni che compaiono sono definite: {\left( {cos}^{2}\frac{\alpha}{2}+\frac{1}{2}-cos\hspace{0.1cm}\alpha\right)}^{2}-\frac{1}{4}(1-{sin}^{2}\alpha)

 V  Esprimi la seguente espressione in funzione di    tan\frac{\alpha}{2}=t: \hspace{0.7cm}sin\hspace{0.1cm} \alpha -2\hspace{0.1cm}cos\hspace{0.1cm}\alpha-3

 

funzioni goniometriche

 V  Calcola i valori delle restanti funzioni goniometriche di \alpha:\hspace{0.6cm}sin\hspace{0.1cm}\alpha=\frac{6}{7},\hspace{0.6cm}\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi

 V  Calcola i valori delle restanti funzioni goniometriche di \alpha:\hspace{0.6cm}tan\hspace{0.1cm}\alpha=\frac{2\sqrt{7}}{5},\hspace{0.6cm} 180° < \alpha < 270°

 V  Scrivi l’equazione di una funzione goniometria che abbia periodo uguale a , che sia dispari e abbia come codominio l’intervallo [-2, 2]

 V  Verifica la seguente identità, supponendo che \alpha assuma solo valori per i quali sono definite tutte le espressioni che vi compaiono      {cos}^{4}\hspace{0.1cm}\alpha+{sin}^{4}\hspace{0.1cm}\alpha-1=-2{\left( \frac{sin\hspace{0.1cm}\alpha}{sec\hspace{0.1cm}\alpha} \right)}^{2}

 V  Calcola il valore della seguente espressione:     tan\left [ arc \hspace{0.1cm}cos\left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) \right]

 V  Semplifica la seguente espressione:     sin(180° – \alpha) ⋅ cos(-\alpha) – sin(-\alpha) ⋅ cos(180° + \alpha)

 V  Dall’angolo ottuso \alpha si sa che sin\alpha=\frac{3}{5}. Calcola: cos \alpha , cos (-\alpha), sin (\alpha + 180°), tan (-\alpha),   cot (-\alpha), tan (180° + \alpha), cos (180° – \alpha), sin (360° – \alpha)

  Determina il parametro a in modo che la retta di equazione y=\frac{a-1}{a}x+2 formi un angolo di 135° con l’asse x. Scrivi poi l’equazione della retta passante per l’origine e perpendicolare alla retta data

 V  Sapendo che sin\alpha=-\frac{4}{5},con \pi<\alpha<\frac{3}{2}\pi, calcola sin(\pi-\alpha),cos(\pi+\alpha),tan\left(\frac{3}{2}\pi+\alpha \right)

 

formule goniometriche

  Formule di Addizione e sottrazione Sapendo che tan\hspace{0.1cm}\alpha=\frac{4}{3} con 180° <  \alpha < 270°, calcola sin(60°- \alpha) e cos(210° –  \alpha)

 V  Formule di Addizione e sottrazione Verifica che, se \alpha e \beta, compresi entrambi tra 0° e 90°, sono tali che cos\hspace{0.1cm}\alpha=\frac{5}{13}\hspace{0.1cm}e\hspace{0.1cm}cos\hspace{0.1cm}\beta=\frac{12}{13},    si ha \alpha+\beta= 90°

  Formule di Duplicazione Sapendo che sin\hspace{0.1cm}\alpha=\frac{3}{5},con 0<\alpha<\frac{\pi}{2}, calcola sin\hspace{0.1cm}2\alpha,\hspace{0.1cm}cos\hspace{0.1cm}2\alpha,\hspace{0.1cm}tan\hspace{0.1cm}2\alpha

  Formule di Bisezione Sapendo che cos\hspace{0.1cm}\alpha=\frac{25}{25},  con 270° < \alpha < 360°,  calcola: cos\hspace{0.1cm}\frac{\alpha}{2},\hspace{0.1cm}sin\hspace{0.1cm}\frac{\alpha}{2},\hspace{0.1cm}cot\hspace{0.1cm}\frac{\alpha}{2}

  Formule di Bisezione Verifica la seguente identità: os\hspace{0.1cm}(\alpha-\beta)+2{sin}^{2}\hspace{0.1cm}\frac{(\alpha-\beta)}{2}=1

  Formule di Werner Trasforma la seguente espressione in una somma:    sin 5x cos x

 V  Formule di Prostaferesi Trasforma la seguente espressione in un prodotto: sin\hspace{0.1cm}5\alpha-sin\hspace{0.1cm}8\alpha

 

geometria: rette e coniche

 V  Conduci per il punto (0, 2) le rette che formano con la retta di equazione 3x + y – 1 = 0 un angolo la cui tangente è \frac{1}{2}

  Scrivi l’equazione della retta che forma con la retta r: y = 3x – 7 un angolo \alpha = 45° e che passa per il punto P(1, 1)

 V  Scrivi l’equazione della retta passante per P(0, 2) che forma con l’asse x un angolo \alpha=\frac{\pi}{6}

  Considera il fascio di rette di equazione (2k + 1)xky + 3 = 0. Determina l’equazione della retta del fascio che forma un angolo di 45° con la direzione positiva dell’asse x; e di 60° con la direzione positiva dell’asse x

 V  Scrivi le equazioni parametriche della circonferenza definita dalla seguente equazione: x² + y² – 2x – 2y – 7 = 0

  Scrivi le equazioni cartesiane delle curve aventi le seguenti equazioni parametriche:

\begin{cases} x=2+cos\hspace{0.1cm}t\\y=1-sin\hspace{0.1cm}t\end{cases}\hspace{1.5cm}\begin{cases}x=2-3\hspace{0.1cm}cos\hspace{0.1cm}t \\y=-2+sin\hspace{0.1cm}t\end{cases}

 

problema

  Esame di Stato Si scelga a caso un punto all’interno di un parallelogramma, avente i lati lunghi rispettivamente 8m e 6m e gli angoli acuti di 30°. Si determini la probabilità che la sua distanza da ogni vertice sia maggiore di 2m

 

Equazioni goniometriche

  Formule di Bisezione 2{sin}^{2}\frac{x}{2}=\frac{1-cos\hspace{0.1cm}x}{2+2cos\hspace{0.1cm}x}

  Metodo dell’angolo aggiunto sin\hspace{0.1cm}x-cos\hspace{0.1cm}x+1=0

 V  Determina il dominio della seguente funzione: y=\frac{1}{sin\hspace{0.1cm}x}+\frac{1}{cos\hspace{0.1cm}x}

 

risolvi le seguenti equazioni in seno, coseno e tangente

 V  cos 2x tan x – tan x = cos 2x – 1

 V  sin² x – cos x – 1 = 0

  3 tan x = – √3

 V  2(1 + cos x) = √2(√2 – 1)

 V  4 cos³ x = 5 cos x

  sin x – cos x = 0

 V  sin² xsin x cos x – 2 cos² x = 0

 

Disequazioni goniometriche

  Associa ad ogni figura la disequazione di cui gli archi colorati rappresentano le soluzioniSchermata 2016-08-25 alle 20.06.26

 

risolvi le seguenti disequazioni goniometriche

 V  tan² x > 1

  (2 sin x – 1) sin x > 0

 V  sin 2x – cos x + 1 > 2 sin x,       con 0 < x < 2

  sin \hspace{0.1cm}x\leq -\frac{1}{2}

 V  \frac{sin\hspace{0.1cm}x}{cos\hspace{0.1cm}x-1}\leq 0

 

Vettori

prodotto scalare

 V  Dato un rettangolo ABCD di centro O, in cui AB = 5, BC = 4, calcola AC ⋅ BD e OB ⋅ OC

 

prodotto vettoriale

 V  Due vettori u e v sono tali che ⎜u⎟ = 2, ⎟ v⎟ = 4 e l’angolo formato da u e da v è α = 135°; qual è il modulo di u × v?

 

Trigonometria

risoluzione di triangoli rettangoli

  Un trapezio isoscele ha le basi di 16 cm e 4 cm; si sa che il lato obliquo forma con la base maggiore un angolo \alpha tale che sin\hspace{0.1cm}\alpha=\frac{5}{13}. Determina l’area del trapezio

 V  L’area di un triangolo isoscele è 144√3 cm² e la base è lunga 24√3 cm. Determina il perimetro del triangolo

 

teorema della corda

  In una circonferenza di raggio di misura r l’angolo al centro AÔB è di 90°e l’angolo al centro BÔC, con C appartenente all’arco di lunghezza maggiore, è di 30°. Determina la misura delle corde AB ,BC , AC

 

geometria piana

 V  Nel triangolo rettangolo ABC l’ipotenusa BC misura 2\alpha e l’angolo ABC è di 30°.Determina un punto P dell’altezza AH relativa all’ipotenusa in modo che si abbia 3AC² – CP² = PB²

  Determina l’angolo CÂB, formato dalla diagonale AC del rettangolo ABCD con il lato AB, sapendo che la misura dell’area del rettangolo è \frac{1}{2}{a}^{2} e che AC = a

 

problemi

  Determina l’area del triangolo ABC, di cui sono noti i seguenti elementi:     \widetilde{AB}=6a,\hspace{0.6cm}\widetilde{BC}=10a,\hspace{0.6cm}cosA\hat{B}C=\frac{3}{5}

 V  Facendo riferimento alla figura, sappiamo che l’area del parallelogramma è pari a 32u², che quella del cerchio è pari a 32u² e che AB = 8u. Marcello afferma che l’area del settore circolare DCB è inferiore a 10u², mentre Barbara afferma che è superiore. Chi dei due ha ragione?

  Si vuole costruire una galleria che colleghi i due punti A e B in figura. In base alle misure indicate quanto dovrà essere lunga la galleria?
Schermata 2016-08-25 alle 17.29.11

Rotazioni, similitudini e affinità

 V  Il punto P(1 , 2) è trasformato nel punto P'(2a – 3 , b + 1) dalla dilatazione verticale di rapporto 3. Quali sono i valori di a e b?

 V  Stabilisci se le seguenti equazioni definiscono un’affinità. In tal caso: precisa se tale affinità è diretta o inversa; determina i punti A’, B’, C’ corrispondenti di A≣O(0 ,0) , B(1 ,1) , C(2 ,-3) nell’affinità; verifica sui triangoli ABC e A’B’C’ se l’affinità conserva o meno l’orientamento delle figure:     ‘ = -2x -3y + 2;      ‘ = 3x + 2y – 1

 

isometrie

 V  Traccia la parabola di equazione y = x² + 4x – 4, determinandone il vertice. Scrivi poi l’equazione della curva ad  essa simmetrica rispetto al punto C(2 , -1) verificando che è anch’essa una parabola e che  il suo vertice è simmetrico, rispetto a C, del vertice della parabola data

 V  Il simmetrico del punto P(3ɑ4 , 2) rispetto all’asse y è il punto P'(1 – 2ɑ ,2).Quale deve essere il valore del parametro ɑ?

  Le rette di equazioni 2x + ɑy b + 1 = 0 e ax – 2y + 3 + b = 0 sono tra loro simmetriche rispetto all’asse y. Trova quali valori devono assumere i due parametri ɑ e

 

Numeri complessi e coordinate polari

operazioni in C

  Esegui la seguente operazione: (2 –i

 V  Semplifica la seguente espressione: \frac{1}{2-i}+\frac{1}{2+i}

 V  Determina ∈ R in modo che il numero complesso z=\frac{a-i}{2+i} sia immaginario

 V  Scrivi in forma algebrica il seguente numero complesso scritto in forma esponenziale: 6{e}^{\frac{\pi}{3}i}

 

forma trigonometrica, potenza e radici di un numero complesso

 V  Esprimi in forma trigonometrica i seguenti numeri complessi dati in forma algebrica: -√3 + i , – 3i – √3

 V  Calcola la seguente potenza applicando la formula di de Moivre: (-√3 + 3i)³

 V  Calcola le radici n-esime dei seguenti numeri complessi: \sqrt{i},\sqrt{-i}

  Sia = (1 – 3ki) + (2k – 3i) – [(4 – k) + 7i ]. Determina il valore del parametro reale k in modo che a sia: un numero reale; un numero immaginario. Verifica poi che per k=\frac{1}{3}, \hspace{0.4cm}\alpha è il coniugato di -2 + 11i

 

Rette, piani e figure nello spazio

  Sulle facce a e di un diedro convesso di spigolo r sono dati rispettivamente i punti A e B equidistanti da r. Dimostra che la distanza di A da è uguale alla distanza di B da a 

 V  Dimostra che, in un parallelepipedo rettangolo, la somma dei quadrati delle misure delle diagonali è uguale alla somma dei quadrati delle misure dei suoi dodici spigoli

 V  In un cono l’apotema è \frac{3}{2} dell’altezza e il raggio misura 10 cm. Qual è la lunghezza dell’altezza?

 

Misure di superfici e volumi

area e volume di un parallelepipedo

 V  L’area di un quadrato è uguale a quella della superficie laterale di un cubo il cui spigolo misura a. qual è la misura del lato del quadrato?

 V  Un cubo ha diagonale di misura 3a√2. Determina il volume del parallelepipedo avente come base un quadrato di lato a e la cui superficie totale è equivalente alla superficie totale del cubo

 

area e volume di un cilindro

 V  Lo sviluppo della superficie laterale di un cilindro è un quadrato di area 576 ² cm². Determina il raggio del cilindro

 V  Un cilindro ha superficie totale di area 37 a² e la sezione del cilindro con un piano passante per il suo asse ha area 5a². Determina il volume del cilindro

 

area e volume di un cono

 V  In un cono l’altezza misura 8 cm e l’apotema misura 10 cm. Qual è l’area del cerchio di base?

 V  In un cono, avente altezza doppia del raggio di base, l’area della superficie laterale è 4√5a². Determina il volume del cono

  Lo sviluppo della superficie laterale di un cono è il settore circolare rappresentato in figura. Qual è il volume del cono?Schermata 2016-08-25 alle 19.10.36

 

area e volume di una sfera

 V  La somma dei volumi di due sfere, aventi una il raggio doppio dell’altra, è 324 cm³. Determina le aree delle superfici delle due sfere

 

 Geometria analitica nello spazio

 V  Determina l’equazione del luogo dei punti (paraboloide) equidistanti dal punto F(0 ,0 ,1) e dal piano xy

  Scrivi l’equazione della superficie sferica con centro nel punto ( -3 ,0 ,1) e raggio 5

 

distanza tra due punti

 V  Calcola la distanza tra i seguenti punti: A(0 , 0 , 3)   ,  B(0 , 4 , 0)

  Verifica che il triangolo ABC di vertici A(2 , -1 , 0) , B(1 , 1 , 4) , C(4, 2 , -1) è rettangolo e calcola la sua area

 

piano nello spazio

 V  Scrivi in forma esplicita l’equazione del piano passante per i punti di coordinate (0 ,0 ,2) , ( 3 , 0 , -2) e (3 ,1 ,-1)

 V  Scrivi l’equazione del piano passante per l’origine e parallelo al piano di equazione 2x – 5y + z = 3

  Stabilisci la posizione reciproca tra i due piani indicati: 2x – 5y + z = 1 e 6x – 15y + 3z = 4

 V  Scrivi l’equazione del piano che passa per il punto P(-2, 0, 1) ed è parallelo al piano di equazione 2xy – 4z – 1 = 0. Determina quindi la distanza dell’origine da tale piano

 

vettori

  Determina per quale valore di a i due vettori  \vec{u} (a, -2, a - 1) e  \vec{v} (2, -1, 3) sono perpendicolari

 

Calcolo Combinatorio

permutazioni

 V  Tra i numeri di 10 cifre tutte diverse tra loro, quanti sono i multipli di 10?

 

disposizioni semplici e con ripetizione

 V  Quindici squadre di calcio devono disputare fra loro tutte le possibili partite. Quante partite si faranno se per ogni coppia di squadre si deve fare una partita per ogni i campo?

  Un club ha 15 membri.In quanti modi possono essere scelti un presidente, un vice-presidente e un segretario (supponendo che nessun membro possa avere più di una carica)?

  Per aprire una cassaforte bisogna comporre una ≪parola d’ordine≫ di 5 lettere (anche senza significato) scelte tra le 21 dell’alfabeto. Quante diverse parole d’ordine possono essere composte?

 

combinazioni semplici e con ripetizione

 V  Quanti ambi, terni e quaterne possiamo formare con i 90 numeri del Lotto?

 V  In quanti modi è possibile piantare 12 gerani dello stesso tipo e dello stesso colore in 4 fioriere?

 

Probabilità

 V  Considera un mazzo di 52 carte. Se si estrae a caso una carta dal mazzo, qual è la probabilità di estrarre una carta che non sia né una figura né una carta di cuori? Se si estraggono a caso e simultaneamente due carte dal mazzo, qual è la probabilità che tra le due carte estratte non ci sia né una figura né una carta di cuori?

  Sette amici, quattro ragazzi e tre ragazze,si recano al cinema e si siedono a caso, tutti vicini, sulle poltrone di una stessa fila. Calcola la probabilità: che i ragazzi siano tutti vicini tra loro; che le ragazze siano tutte vicine tra loro; che i ragazzi siano tutti vicini tra loro e le ragazze tutte vicine tra loro

 

probabilità totale, contraria o condizionata

 V  Un’urna contiene 30 palline numerate da 1 a 30; ne viene estratta una. Considera l’evento ≪il numero estratto è pari e multiplo di 5≫. Qual è l’evento contrario? Qual è la probabilità di entrambi? 

 V  Si lanciano due dadi. Calcola la probabilità che almeno su una faccia  sia uscito 3, sapendo che la somma dei punti delle due facce uscite è 7

  Calcola la probabilità che, lanciando due monete, si abbiano due teste, sapendo che su almeno una è uscito testa

 

dipendenza stocastica e probabilità composta

  Da un mazzo di 40 carte se ne estraggono quattro contemporaneamente. Calcola la probabilità che tre carte siano di quadri