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Indice quinto anno

Indice quinto anno

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Introduzione all’analisi

 V  Stabilisci se le seguenti funzioni sono pari o dispari: y={e}^{x}+{e}^{-x}; \hspace{0.5cm}y=\frac{cos\hspace{0.1cm}x}{x}

 V  Verifica che la seguente funzione è invertibile e determina l’equazione dell’inversa:    y=\frac{x-1}{x+2}

 

estremo inferiore, estremo superiore, minimo e massimo di una funzione

 V  Determina l’estremo inferiore e l’estremo superiore dei seguenti insiemi e se esistono, il massimo e il minimo in R:              A = (-1, 2] ∪ [2, +∞); A = [-2, 3] ∪ {-7} ∪ [5, +∞)

 V  Facendo riferimento alla seguente funzione, di equazione y = f(x), traccia il grafico nel suo dominio D e determina estremo superiore, estremo inferiore e, se esistono, massimo e minimo della funzione in D:  y={\left( \frac{1}{2} \right)}^{-x}+2

 

dominio e segno di una funzione

 V  In riferimento alla seguente funzione y = f(x), determina il dominio, gli eventuali punti di intersezione con gli assi, gli insieme dei valori per cui risulta f(x) > 0 e le regioni del piano cartesiano in cui si trova il grafico: \sqrt{\frac{{x}^{3}-9x}{{x}^{2}-8x-9}}

 V  Quale delle seguenti funzioni è definita per ogni x ∈ R ? A)\hspace{0.1cm}y=\frac{1}{{x}^{2}-1}\hspace{0.8cm}B)\hspace{0.1cm}y=\sqrt{{x}^{2}-1}\hspace{0.8cm}C)\hspace{0.1cm}ln({x}^{2}-1)\hspace{0.8cm}D) y= \sqrt[3]{{x}^{2}-1}

 V  Quale delle seguenti funzioni non è definita per ogni x ∈ R ? A)\hspace{0.1cm}y={e}^{sin\hspace{0.1cm}x}\hspace{0.8cm}B)\hspace{0.1cm}y=sin\hspace{0.1cm}{e}^{x}\hspace{0.8cm}C)\hspace{0.1cm}y=arccos(sin\hspace{0.1cm}x)\hspace{0.8cm}D)y=sin(arcsin\hspace{0.1cm}x)

 V  Determina il dominio delle seguenti funzioni algebriche:     y=\sqrt{{x}^{2}+5x-6}+\sqrt{8-{x}^{3}};\hspace{0.5cm}y=\frac{\sqrt{-{x}^{3}+4x}}{3\left| x \right|-6}

 V  Determina il dominio della seguente funzione:     y=\sqrt{{ln}^{3}x-3\hspace{0.1cm}ln\hspace{0.1cm}x}

 V  Determina il dominio, eventuali punti di intersezione con gli assi cartesiani e il segno della seguente funzione:    y=\sqrt{\frac{x-4}{x-2}}

 

funzioni composte

 V  Determina l’espressione analitica della funzione f ⋅ g e di g ⋅ f, specificando il dominio di ciascuna funzione composta: f(x)={x}^{2}+1,\hspace{0.5cm} g(x)=sin\hspace{0.5cm}x;\hspace{1cm}f(x)=\sqrt{x-1},\hspace{0.5cm}g(x)={log}_{2}x

 V  Date le funzioni f(x)=\frac{2x-1}{x+2} e g(x) = sin x, determina (f ⋅ g)(x) e stabilisce per quali valori di x risulta (f ⋅ g)(x) ≧ 0

 

 Limiti di funzioni reali di variabile reale

 V  Traccia il grafico della funzione f(x)=2\frac{\left| x \right|}{x} e utilizzalo per dedurre quanto valgono i seguenti limiti: \lim_{x \to {0}^{-}}f(x)\hspace{0.5cm}\lim_{x \to {0}^{+}}f(x)

 

calcola i seguenti limiti

 V  \lim_{x \to \pi}\frac{sin \hspace{0.1cm}x-cos\hspace{0.1cm}x}{tan\hspace{0.1cm}x+cos\hspace{0.1cm}2x}

 V  \lim_{x \to 0}{\left( \frac{sin\hspace{0.1cm}3x}{x} \right)}^{x+2}

 V  \lim_{x \to +\infty}\frac{{e}^{2x}-2{e}^{x}-1}{3+{e}^{2x+1}}

 

(definizione di limite) limite finito per x che tende a un valore finito

 V  \lim_{x \to -1}(3x+1)=-2

 

(definizione di limite) limite infinito per x che tende a un valore finito

 V  \lim_{x \to {0}^{+}}ln\hspace{0.1cm}x=-\infty

 

(definizione di limite) limite finito per x che tende a un valore infinito

 V  \lim_{x \to -\infty}{e}^{x}=0

 

(definizione di limite) limite infinito per x che tende a un valore infinito

 V  \lim_{x \to -\infty }\sqrt{1+{x}^{2}}=+\infty

 V  \lim_{x \to \infty }\sqrt[5]{2-3{x}^{3}}=\infty

 

forme indeterminate di funzioni razionali

 V  \lim_{x \to +\infty}\frac{{(2x+1)}^{2}}{{(4x-1)}^{2}}

 V  \lim_{x \to 2}\frac{{x}^{3}-8}{{(x-2)}^{3}}

 

teorema del confronto

 V  \lim_{x \to \infty }\frac{sinx}{x}=0

 V  \lim_{x \to +\infty }\left [ x\cdot(3+sinx) \right]=+\infty

 

problemi

 V  Considera la parabola con asse parallelo all’asse y, passante per A(-1 , 0) , B(1 , 0) e C(2 , 6); scrivi l’equazione della parabola. Considera un punto P di ascissa x sull’arco AC di parabola e calcola il limite del rapporto tra l’area del triangolo APB l’area del triangolo APC, al tendere di P ad A 

 V  Data una semicirconferenza di diametro AB, centro O e raggio r, sia t la semiretta tangente alla semicirconferenza in A, che giace, rispetto alla retta AB, dalla stessa parte della semicirconferenza. Considera C sulla semiretta t e poni ACO = x. Indica con D il punto di intersezione del segmento OC con la semicirconferenza e con E la proiezione di D su AB. Calcola il limite cui tende il rapporto \frac{ \mathrm{CD} }{ \mathrm{DE} }=0 quando il punto C tende ad A

 

 Limiti di successioni

criterio del confronto

 V  \lim_{n \to +\infty }\frac{sin\hspace{0.1cm}n+cos\hspace{0.1cm}n}{n}

 V  Stabilire se le seguenti successioni sono progressioni aritmetiche o geometriche e determinarne la ragione: {a}_{n}=-3n+1;\hspace{0.7cm}{a}_{n}=\frac{1}{5}\cdot{3}^{2n-1}

 V  Applicando la definizione, verifica il seguente limite: \lim_{n \to +\infty}({n}^{2}-1)=+\infty

 

 Limiti e continuità

 V  Determina i valori del parametro a in modo che la seguente funzione risulti continua in R: f(x)=\begin{cases}ax+4\hspace{1cm}x\leq 2 \\ a{x}^{2}-4\hspace{0.75cm}x>2\end{cases}

 V  \lim_{x \to -\infty }cos{e}^{x}

 V  \lim_{x \to +\infty }arctan\frac{{e}^{x}}{1+{e}^{x}}=0

 

proprietà delle funzioni continue

 V  Teorema degli zeri Stabilisci se le seguenti funzioni soddisfano le ipotesi del teorema degli zeri nell’intervallo indicato, motivandone la risposta:        f(x)={x}^{3}-x+1\hspace{1cm}[0,2]\hspace{4cm}f(x)=x+{log}_{2}\hspace{0.1cm}x\hspace{1cm}\left [\frac{1}{2}, 1 \right]

 V  Teorema di Weierstrass Stabilisci se le seguenti funzioni soddisfano le ipotesi del teorema di Weierstrass nell’intervallo indicato, motivandone la risposta:        f(x)=\frac{1}{2-\sqrt{x}}\hspace{1cm}[1, 2]\hspace{4cm}f(x)=\frac{1}{2-\sqrt{x}}\hspace{1cm}[2, 4]

 

limiti di funzioni indeterminate

 V  \lim_{x \to {0}^{+}}\frac{\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}}{x}

 V  \lim_{x \to \infty}\left( \sqrt{{x}^{2}+1}-\sqrt{{x}^{2}-4} \right)

 V  \lim_{x \to \infty}\frac{x-2}{\sqrt{x+3}}

 

limiti notevoli di funzioni esponenziali e logaritmiche

 V  \lim_{x \to \infty}{\left( \frac{x-3}{x+4} \right)}^{x}

 V  \lim_{x \to +\infty}{\left( \frac{1}{2x} \right)}^{\frac{1}{ln\hspace{0.1cm}3x}}

 

limiti notevoli di funzioni goniometriche

 V  \lim_{x \to 0}\frac{1-cos\hspace{0.1cm}x}{x}

 V  \lim_{x \to 0}\frac{1-{cos}^{3}x}{x\hspace{0.1cm}sin\hspace{0.1cm}x\hspace{0.1cm}cos\hspace{0.1cm}x}

 

problemi

 V  Data la parabola di equazione y = x² e il punto P  su di essa in modo che sia x > 0. Detta H la proiezione ortogonale di P  sull’asse delle ascisse e O l’origine degli assi, sia P‘ il simmetrico di P  rispetto all’asse delle ordinate. Calcola il limite del rapporto P’H \ PP’ quando il punto P  tende a O spostandosi sulla parabola

 

asintoti e grafico probabile di una funzione

 V  Determina gli asintoti delle seguenti funzioni: y=\sqrt{{x}^{2}+1}-4x;\hspace{1cm}y=x-\sqrt{{x}^{2}-4};\hspace{1cm}y=\frac{{e}^{x+1}}{{e}^{x-1}}

 V  Considera la funzione f(x)=\frac{a{x}^{2}+1}{{x}^{2}+bx+c}. Determina a, b e c in modo che ammetta come asintoto orizzontale la retta di equazione y = 2 e come unico asintoto verticale la retta di equazione x =-2

 V  Traccia il grafico probabile della seguente funzione algebrica:  y=\frac{{x}^{3}+1}{{x}^{2}+2x-3}

 V  Traccia il grafico probabile della seguente funzione irrazionale:  y=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}

 V  Traccia il grafico probabile della seguente funzione trascendente:  y=\frac{{e}^{x}}{{e}^{x}-1}

 

La derivata

determina le derivate delle seguenti funzioni

 V  f(x) = ³ con ₀ = -1

 V  f(x) = ln x

 V  y=\frac{1-2\hspace{0.1cm}cos\hspace{0.1cm}x}{sin\hspace{0.1cm}x}

 V  Determina per quali valori di k la derivata della funzione f(x) = keᴷˣ – e⁻³ᴷˣ nel punto x = 0 risulta positiva

 

algebra delle derivate

 V  f(x)=\frac{1}{x}({e}^{x}+ln\hspace{0.1cm}x)

 V  f(x)=\frac{2}{3}x\hspace{0.1cm}\sqrt{x}\hspace{0.1cm}ln\hspace{0.1cm}x-\frac{4}{9}x\sqrt{x}

 V  Derivata seconda →  f(x)={e}^{x}({x}^{2}+2x+1)

 

applicazioni geometriche al concetto di derivata: retta tangente

 V  Determina l’equazione della retta tangente sia a y = ln x sia a y = ln x²

 V  Individua il punto in cui la retta tangente al grafico della funzione y=ln\left( \frac{4x}{{x}^{2}+2} \right) è perpendicolare alla retta di equazione y = -3x + 2

 V  Determina l’equazione della retta parallela alla bisettrice del primo e del terzo quadrante, tangente al grafico della funzione y = 2 ln x + 1

 V  Determina i punti appartenenti al grafico della funzione y = – 3x² + 2x – 1 in cui la retta tangente è parallela alla retta di equazione 11xy – 2 = 0

 V  Determina l’equazione della retta tangente al grafico della funzione y = cos x nel suo punto di ascissa x=\frac{\pi}{3}

 

problemi

 V  La legge di un moto di un corpo che si muove su una traiettoria rettilinea è s = t³ – 6t² + 12t – 4 , dove t è misurato in secondi ed s in metri: Trova la velocità e l’accelerazione all’istante t , In quali istanti la velocità è di 3 m/s ? , In quale istante l’accelerazione è nulla ?

 V  Considera la funzione f(x) = ax³ + bx² + cx d. Determina i coefficienti a, b, c e d in modo che sia: f(0) = 0, f(1) = 1, ‘(0) = 2, ”(1) = -6. Scrivi le equazioni delle rette tangenti al grafico della funzione, passanti per P (1, 2) e indica con A e B i punti di contatto delle tangenti alla curva di equazione y = f(x). Determina l’area del triangolo APB; scrivi l’equazione della circonferenza tangente al grafico di f nel suo punto di ascissa 1 e passante per l’origine

 V  Esame di Stato Si trovi l’equazione della retta tangente alla curva di equazioni parametriche x= eᵗ + 2 e y = eᵗ +3 nel suo punto di coordinate (3, 4)

 

Teoremi sulle funzioni derivabili

teoremi

 V  Teorema di Fermat In riferimento alla seguente funzione, determina, se esistono, i punti che possono essere estremi relativi della funzione in base al teorema di Fermat (ovvero i punti stazionari)  f(x) = x²e⁻²ˣ 

 V  Teorema di Rolle Stabilisci se alla seguente funzione è applicabile il Teorema di Rolle nell’intervallo indicato e,in caso affermativo, determina il punto c di cui il teorema garantisce l’esistenza: f(x) = e²ˣ – 3 + 2            [0, ln 2]

 V  Teorema di Lagrange Stabilisci se all eseguenti funzioni è applicabile il teorema di Lagrange nell’intervallo indicato e, in caso affermativo, determina i punti c di cui il teorema garantisce l’esistenza: f(x) = ln x       [1,e] ;  f(x) = – x² + 7x – 12      [2,5]

 V  Applicazioni del Teorema di Lagrange Supponi che f sia una funzione derivabile in R tale che f(0) = 5 e f ‘(x) ≦ 4 per ogni x ∈ R. Applicando il teorema di Lagrange nell’intervallo [0, 6], dimostra che f(6) ≦ 29. Dimostra quindi che, più in generale, risulta f(x) ≦ 5 + 4x per ogni x ∈ R

 V  Teorema di de l’Hopital Applicando la regola di De l’Hopital calcola il seguente limite \lim_{x \to 1}\frac{1-\sqrt{x}}{ln\hspace{0.1cm}x}

 

monotonia, massimi e minimi

 V  Determina gli intervalli dove la seguente funzione è crescente o decrescente e gli eventuali punti di massimo , di minimo relativo e di flesso a tangente orizzontale f(x)=\frac{{x}^{2}-4}{{(x+1)}^{2}}

 V  Determina gli intervalli dove la seguente funzione è crescente o decrescente e gli eventuali punti di massimo, di minimo relativo e di flesso a tangente orizzontale: f(x)={e}^{\frac{{x}^{2}}{x+2}}

 V  Considera la funzione y=\frac{{x}^{2}+ax+b}{x} .Determina a e b in modo che presenti un  punto di estremo relativo per x = 2 e che il suo asintoto obliquo passi per i punto di coordinate (3 , 8)

 

problemi di massimo e di minimo

 V  Sia PQRS un rettangolo in cui il lato PQ misura 4 e il lato QR mira 2. Verifica che, tra i triangoli isosceli ABC circoscritti al rettangolo la cui base AB contiene PQ, quello di area minima ha altezza relativa ad AB congruente alla metà di AB

 V  Risolvi il seguente problema: Data la parabola di equazione y = 4xx², considera il segmento parabolico limitato dalla parabola e dall’asse x. Fra i rettangoli inscritti nel segmento parabolico, con un lato sull’asse x, determina quello di perimetro massimo e quello di area massima

 V  Data la parabola di equazione y = x² – 2x, determina il punto P della parabola la cui distanza dal punto Q(2, 1) è minima

 V  Sia P un punto appartenente alla parabola di equazione y = 4 – x². Da P traccia la retta tangente alla parabola e indica con A e B i suoi punti d’intersezione con gli assi cartesiani. Determina P in modo che l’area del triangolo AOB, essendo O l’origine degli assi, sia minima

 V  Sia ABC il triangolo tale che AB = 2√7, BC = 6, AC = 2. Determina l’ampiezza dell’angolo AĈB e il punto P sul lato BC tale che il rapporto \frac{AP}{PC} sia minimo

 V  Di tutti i rettangoli inscritti in un medesimo cerchio di raggio r, qual è quello di perimetro massimo? E quello di area massima?

 

punti di flesso

 V  Scrivi l’equazione della retta tangente alla seguente funzione nel suo eventuale punto di flesso: y = ln² x

 V  Determina i valori di a e b in modo che la funzione y = a + bx² + eˣ abbia un punto di flesso di ascissa x = 0 e la tangente nel punto dio flesso intersechi l’asse y nel punto di coordinate (0, 4)

 

 Lo studio di funzione

studia la seguente funzione e tracciane il grafico

 V  y=\frac{x-1}{{x}^{2}-2x+2}

 V  y = 1/2 sin² xcos x

 V  y=\frac{\sqrt{9-{x}^{2}}}{x}

 

problema

 V  Considera le due funzioni f(x) = e²ˣe G (x) = 2eˣ-1. Tracciane il grafico e determina le coordinate del loro punto di intersezione A; verifica che le due funzioni f e G sono tangenti in A (cioè hanno in A la stessa retta tangente). Siano P e Q i due punti, appartenenti rispettivamente al grafico di f e al grafico di G , di ascissa x, esprimi y = PQ in funzione di x e traccia il grafico della funzione ottenuta

 V  Considera un quadrato ABCD di lato unitario. Sul prolungamento della simmetria AC, dalla parte di C, considera un punto P la cui distanza dalla retta CD è x. Determina l’equazione della funzione y=\frac{{PB}^{2}+{PD}^{2}}{{PC}^{2}} e tracciane il grafico indipendentemente dalle limitazioni geometriche, mettendo in evidenza il tratto relativo al problema

 

Integrale indefinito

 V  Calcola i seguenti integrali indefiniti, ricordando gli integrali notevoli: \int\left( x+\frac{2}{x} \right)({x}^{2}+3)dx; \hspace{0.6cm}\int{({3}^{x}-1)}^{2}dx

 V  Calcola i seguenti integrali indefiniti: \int (1+cos\hspace{0.1cm}x){(x+sin\hspace{0.1cm}x)}^{2}dx;\hspace{0.6cm}\int {2}^{1+{x}^{3}}{x}^{2}dx;\hspace{0.6cm}\int \frac{sin\hspace{0.1cm}2x}{{sin}^{2}x+1}

 V  Calcola il seguente integrale operando opportune sostituzioni: \int x\sqrt[4]{x-1}\hspace{0.1cm}dx

 

funzioni goniometriche

 V  \int \frac{1}{sin\hspace{0.1cm}x}dx

 

funzioni frazionarie

 V  \int \frac{{x}^{3}-4{x}^{2}+4x-1}{{x}^{2}-4x+4}dx

 V  Discriminante positivo →   \int \frac{x+3}{2{x}^{2}-x-1}dx

 V  Discriminante nullo → \int \frac{1}{{x}^{2}+8x+16}dx

 V  Discriminante negativo → \int \frac{x+1}{{x}^{2}-2x+3}dx

 V  \int \frac{x+1}{{x}^{3}-3{x}^{2}+2x}dx

 

integrazione per parti

 V  \int x\hspace{0.1cm}ln\hspace{0.1cm}x\hspace{0.1cm}dx; \hspace{0.6cm}\int x\hspace{0.1cm}cos\hspace{0.1cm}x\hspace{0.1cm}dx

 

Integrale definito

 V  Calcola il seguente integrale: \int^{5}_{0}\frac{x}{\sqrt{x+4}}dx

 

problemi

 V  Dopo aver tracciato il grafico della funzione y = x⁴ – 2x² + 1, calcola l’area della regione finita di piano limitato da tale grafico e dall’asse delle x

 V  Considera la regione finita di piano limitata dal grafico della funzione y= \sqrt{4-x} e dagli assi cartesiani. Determina il volume del solido generato da tale regione in una rotazione completa intorno all’asse x, determina anche il volume del solido generato da tale regione in una rotazione completa intorno all’asse y

 V  Determina l’area della regione di piano limitata dall’asse x e dall’arco di parabola di equazione y = –x² + x + 2 che sta al di sopra dell’asse x

 

Equazioni differenziali

equazioni differenziali del primo ordine lineari

 V  Determina l’integrale generale della seguente equazione differenziale lineare: y ‘+ \frac{2}{x}y=4

 V  Determina l’integrale generale della seguente equazione a variabili separabili: yy ‘ = sin x

 

equazioni differenziali del secondo ordine

 V  Determina l’integrale generale della seguente equazione omogenea: y ” + 4y ‘ + 5y = 0

 V  Determina l’integrale generale della seguente equazione non omogenea: y ” + 4y ‘ = -12e²ˣ

 

Distribuzioni di probabilità

 V  Un’ urna contiene 6 palline bianche ed n palline nere, con n ≧ 1. Un gioco consiste nell’estrarre una pallina dall’urna, osservarne i colore, quindi estrarre una seconda pallina dall’urna, senza reimmissione della prima. In ciascuna delle due estrazioni, il giocatore vince 2 euro se estrae una pallina bianca, mentre ne perde 3 se estrae una pallina nera. sia X la variabile aleatoria che esprime la somma complessiva vinta o persa dal giocatore dopo le due estrazioni. Determina la distribuzione di probabilità di X, verifica che il valore medio di X è espresso dalla formula: E(X)=\frac{6(4-n)}{n+6}. Determina per quali valori di n il gioco è favorevole al giocatore

 

distribuzioni binomiali

 V  Un’ urna contiene 9 palline, di cui 6 bianche e 3 rosse. Si eseguono successivamente 4 estrazioni dall’urna, con reinserimento. Sia X la variabile aleatoria che conta il numero di palline bianche estratte complessivamente nelle 4 estrazioni. Individua la distribuzione di probabilità di X, precisandone i parametri. Calcola la probabilità di estrarre esattamente due palline bianche e successivamente calcola la probabilità di estrarre esattamente 3 palline bianche

 V  Si lanciano due dadi contemporaneamente per 15 volte. Studia la variabile casuale  «numero di volte in cui la somma delle due facce dà 12». Calcola inoltre: il numero medio di volte in cui la somma delle due facce dà 12; la probabilità che la somma delle due facce sia sempre 12; la probabilità che la somma delle due facce non sia mai 12

 V  I transistor prodotti da una certa fabbrica sono difettosi con probabilità \frac{1}{15}. Un negoziante ne ordina 300. Qual è il numero medio di transistor difettosi che può aspettarsi e qual è lo scarto quadratico medio?

 

distribuzioni esponenziali

 V  La durata di vita, espressa in anni, dei camion di una società di autotrasporti si può modernizzare con una variabile aleatoria esponenziale di parametro λ. La durata di vita media di un camion è 12 anni. Determina il valore di λ; calcola la probabilità che la durata di vita di un camion sia superiore a 15 anni. Qual è la probabilità che un camion in attività da 10 anni sia ancora operativo per almeno altri 6 anni?

 

distribuzioni di Poisson

 V  In un filo di rame sottile è presente in media un’impurità ogni 3cm. Calcola la probabilità che in 15cm di filo: non siano presenti impurità, sia presente esattamente un’impurità, siano presenti almeno 2 impurità