Home

Indice secondo anno

Indice secondo anno

 V ideolezioni PREMIUM
 V ideolezioni GRATUITE

Radicali

 V  Determina per quali valori reali è definita la seguente espressione: \sqrt{{x}^{3}-{x}^{2}}+\frac{1}{\sqrt{x}}+\sqrt{x+1}

 

semplifica e calcola il valore delle seguenti espressioni

 V  \sqrt{{2}^{4}\cdot {3}^{6}-{2}^{6}\cdot {3}^{4}}

  \sqrt{{15}^{2}+175}   ,   \sqrt{{12}^{2}+{16}^{2}}   ,   \sqrt{{30}^{2}+9\cdot 21}

 V  \sqrt{{25}^{2}-{24}^{2}}   ,   \sqrt{{13}^{2}-{12}^{2}}   ,   \sqrt{221+\sqrt{5+\sqrt{121}}}    ,    \sqrt[4]{\frac{1}{16}}    ,    \sqrt[3]{0,008}    ,    \sqrt[6]{-8}

  {\left( 3-\sqrt{3} \right)}^{2}\left( 3+\sqrt{3}\right)-\left(3+\sqrt{3} \right){\left( 3-\sqrt{3} \right)}^{2}+\sqrt{12}-\sqrt{75}

 V  \frac{1}{1-\sqrt{5}} + \frac{1}{1+\sqrt{5}} + \left( \sqrt{\frac{1}{2}} -1 \right)\left( \sqrt{\frac{1}{2}} +1 \right)

  \sqrt{\left( \sqrt{\frac{4}{5}}+\sqrt{\frac{9}{5}} +\sqrt{5} \right)\sqrt{5}-\sqrt{19}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \sqrt{19} +1 \right)

 V  \frac{a+9-6\sqrt{a}}{a-9}   ,   \frac{a\sqrt{a}-8}{a-4}

 V  \left( \sqrt{a + 1} -\sqrt{a-2} \right)\left( \sqrt{a+1} +\sqrt{a-2} \right)

  {\left( \sqrt{x}-\sqrt{y} \right)}^{2}+\left( \sqrt{xy}-\sqrt{y} \right)\left( \sqrt{y}+\sqrt{x} \right)-x\left( 1+\sqrt{y} \right)+\sqrt{4xy}

 

risolvi il seguente sistema lineare

 V  \begin{cases} 2\sqrt{3x} + \sqrt{2y}=10 \\ 3\sqrt{3x} - 2\sqrt{2y}=1 \end{cases}

 

proprietà dei radicali

 V  Trasforma ciascun radicale in un altro equivalente con l’indice rispettivamente indicato affianco:
\sqrt{3}   (indice 14)    ,    \sqrt[7]{8}   (indice 35)    ,    \sqrt[4]{{\left( -10 \right)}^{7}}   (indice 40)    ,    \sqrt[5]{\frac{{\left( -2 \right)}^{7}}{{3}^{4}}}   (indice 10)

 

problema

 V  Verifica che il perimetro del quadrilatero ABCD è uguale a 4\left( 4\sqrt{2}+\sqrt{5} \right)
quadrilatero-secondo

 

Sistemi lineari e Matrici

 V  Risolvi il seguente sistema frazionario:   \begin{cases} \frac{x+y}{y-1} +\frac{y-x}{x+1}=-3\\ x+2y=1 \end{cases}

 V  Determinare A, B ed n, sapendo che il sistema ha grado 16 e ammette come soluzione (2 , 1):   \begin{cases}Ax-x{y}^{n}=1\\{x}^{2}-By=14\end{cases}

 V  Determinare per quali valori di a e b il sistema è indeterminato:   \begin{cases}(a-1)x+(b-2)y=2a-3b+1 \\2x-3y=6\end{cases}

 

risolvi i seguenti sistemi con il metodo più opportuno

 V  sostituzione → \begin{cases}\frac{x-1}{2}-\frac{y-2}{3}=1 \\2(x-y)=1-(2-x+y)\end{cases}

 V  addizione e sottrazione → \begin{cases}2x -\frac{1}{3}y=11 \\x+3y=-4\end{cases}

 V  Cramer → \begin{cases}x=2y-5\\x-\frac{3}{2}y=-1\end{cases}

 

problema

 V  Un camioncino viene caricato con della merce il cui peso rappresenta il 60% del peso complessivo del camioncino e del carico. Dopo che sono stati scaricati 500Kg, la merce rimanente rappresenta il 50% del peso complessivo del camioncino e del carico rimasto. Determina il peso del camioncino vuoto e della merce che è stata caricata inizialmente.

 

problemi numerici e geometrici

 V  La somma di due monomi è 3a, mentre la differenza dei loro quadrati è 4a². Determina i due monomi.

 V  matematica e realtà Un campo formato dall’unione di due terreni quadrati i cui lati misurano (in metri) x e y (vedi figura). L’area complessiva del campo è 3400 m². Il recinto del campo mostrato in figura, è lungo complessivamente 260 m. Determina x e y.Schermata 2016-08-23 alle 11.09.54

 

Il Piano Cartesiano
punti, distanze, rette

 V  Test Vero/Falso: Il punto di coordinate (3 , -7) appartiene al secondo quadrante? Tutti i punti che hanno coordinate concordi appartengono al primo quadrante? I punti che hanno ordinata positiva appartengono al primo o al secondo quadrante? I punti interni al quarto quadrante hanno entrambe le coordinate negative?
Schermata 2016-08-20 alle 15.50.15

 V  Calcola le seguenti distanze: A\left( 2,1 \right)\hspace{0.1cm},\hspace{0.1cm}B\left( 1,2 \right)\hspace{0.2cm};\hspace{0.2cm}A\left( -10,1 \right)\hspace{0.1cm},\hspace{0.1cm}B\left( 2,6 \right)\hspace{0.2cm};\hspace{0.2cm}A\left( -\frac{13}{15},\frac{1}{3} \right)\hspace{0.1cm},\hspace{0.1cm}B\left( \frac{1}{3},\frac{29}{15} \right)

 V  Verifica se il triangolo di vertici  A(1,-1),B(5,2) e C\left( -\frac{31}{5},\frac{43}{5} \right) è rettangolo

 

rappresentazione grafica della retta

 V  importante Rappresenta graficamente la retta di equazione 3x + 4y = 0. Detti poi A e B i suoi punti rispettivamente di ascissa \frac{1}{3} e ordinata -\frac{1}{8}  , calcola la misura del segmento AB

 

Rette nel piano cartesiano

punto medio di un segmento e distanze nel piano cartesiano

 V  importante Verifica che il triangolo di vertici A(0 , -1) , B(1 , 0) e C(-3 , 3) è isoscele sulla base AB e determina la misura dell’altezza relativa ad AB

 V  Dati i punti A(2, 2) , B(1 , -1) , C(, 3) e D(-1 , 2) , determina k in modo che risulti AB² = 4 CD²

 

equazione della retta

 V  importante Scrivi l’equazione della retta passante per A e per BA(-1 , 2)  ,  B(2, 5)    ,    A(1 ,  5)  ,  B(-2,5)    ,    A(1, 6) , B(4, 0)

 V  Scrivi l’equazione esplicita delle seguenti rette, di cui è data l’equazione implicita. Identificane il coefficiente angolare e il termine noto e tracciane il grafico: 4x – 2y – 1 = 0; 5x – 10y + 1 = 0

 V  Determina per quali valori di k la retta passante per A(3 , 1) e per B(, 4) , risulta: parallela alla retta di equazione y = 3x + 1; perpendicolare alla retta di equazione 2x + 4y + 5 = 0

 V  Determina per quali valori di k la retta di equazione (2k + 3)x – (k² + 5k) – k² + 3k – 2 = 0: è parallela all’asse x; è parallela all’asse y; passa per l’origine

 V  importante Determina per quale valore di k la retta di equazione (k + 1)x – (k + 2)y + 2 = 0: passa per il punto P(-2, 4); è parallela all’asse yè parallela alla retta di equazione 4x + 2y – 3 = 0; è perpendicolare all’asse y; è perpendicolare alla retta di equazione x – 5y – 3 = 0

 

fascio proprio di rette

 V  Determina il centro del fascio proprio di rette di equazione y = mx – 8m -5

 

problemi

 V  Determina l’area del triangolo ABC di cui sono dati i vertici: A(0 , -1) , B(2,3) , C(5,1)

 V  Sia ABCD un rettangolo in cui AB = 2BC. Sia M il punto medio di BC e H la proiezione del vertice D su AM. Dopo avere riferito la figura a un opportuno sistema di riferimento cartesiano ortogonale, dimostra analiticamente che il triangolo DHC è isoscele sulla base DH

 

Equazioni di secondo grado e parabola

risolvi  le seguenti equazioni

 V  \frac{x-1}{\sqrt{2}}+\frac{{\left( x-1 \right)}^{2}}{\sqrt{2}-1}=\frac{{x}^{2}-1}{\sqrt{2}+1}

 V  \hspace{0.6cm}(x-3)(x+3)+\frac{1}{2}{(5-x)}^{2}=\frac{x+1}{4}+1

 

risolvi e discuti le seguenti equazioni

 V  \left(x-\sqrt{2a} \right)\left(x+\sqrt{2a} \right)=x\sqrt{a} , con a>0

 V  (a – 1)(a + 1)(x – 1)(x + 1) + (x + 1)(x – 2) = – 2

 

risolvi le seguenti equazioni di secondo grado incomplete

 V  \frac{{\left( x+1 \right)}^{2}}{2}+\frac{{\left(x-1 \right)}^{2}}{2}=\frac{{x}^{2}+1}{4}+\frac{x+6}{8}

 V  {\left(\frac{1}{2} -x\right)}^{3}+{\left(\frac{1}{2} +x\right)}^{3} = \left(\frac{3}{2}-x \right)\left(\frac{3}{2}+x \right)

 

trinomio di secondo grado

 V  Stabilire se il seguente trinomio è riducibile in R e, in caso affermativo, scomporlo: 5x² + 9x – 2

 V  Semplifica la seguente frazione specificando per quali valori di x la semplificazione è valida: \frac{2{x}^{2}+5tx-3{t}^{2}}{{x}^{2}+6tx+9{t}^{2}}

 V  importante Determina per quali valori di k l’equazione x² – 4x + 3 – soddisfa le seguenti condizioni: le soluzioni sono reali e distinte; le soluzioni sono coincidenti; una delle due soluzioni è -1

 V  Considera la parabola di equazione (a – 2)x² – 2x + 3; determina a in modo che: intersechi l’asse x in due punti distinti; intersechi il semiasse delle x positive in due punti distinti; sia tangente all’asse x; intersechi l’asse delle x in due punti A e B tali che la somma delle ascisse di A e di B è – 4.

 

problemi

 V  matematica e realtà La scorsa settimana Paolo si è recato dal cartolaio e ha acquistato delle penne, tutte allo stesso tipo, spendendo 15€. Oggi Paolo si è recato dal cartolaio e ha scoperto, suo malgrado, che il prezzo unitario di quell’articolo è aumentato di 50 centesimi. A causa di questo aumento, spendendo la stessa cifra di 15€, acquista 1 penna in meno della settimana precedente. Determina quante penne ha acquistato la prima settimana e a quale prezzo.

 V  Il quadrato arancione nella figura è un quarto del quadrato verde. Determina la lunghezza del lato del quadrato arancione.Schermata 2016-08-22 alle 19.01.50

 V  In un trapezio rettangolo la base maggiore AB misura 3 cm più della base minore CD, mentre la base minore CD misura 1 cm meno dell’altezza AD. Sapendo che l’area del trapezio è 39 cm², calcola il suo perimetro.


 

Equazioni di grado superiore al secondo

risolvere le seguenti equazioni di grado superiore al secondo

 V  \frac{2}{\left( x-\sqrt{2} \right)\left( x+\sqrt{2} \right)}+\frac{3}{\left( x-1\right)\left( x+1 \right)} = 2

 V  4{x}^{4}-{(x-3)}^{2}=0

 

Sistemi di secondo grado

intersezione tra retta e parabola

 V  Determina k in modo che la retta di equazione y = -2x + k sia tangente alla parabola di equazione y = 2x² – 3

 

Sistemi non lineari

 V  Risolvi il seguente sistema simmetrico, usando il metodo più opportuno \begin{cases}  4{x}^{2}+4{y}^{2} =17\\x\cdot y=1\end{cases}

 

problemi

 V  Matematica e realtà Un negoziante di abbigliamento incassa in un mese 2.000€ dalla vendita di un certo tipo di scarpe. Il mese successivo il negoziante vende 4 paia di scarpe in meno ma incassa 80€ in più per ha aumentato il prezzo delle scarpe di 30€ al paio. Determina il prezzo delle scarpe e il numero di paia vendute nel primo mese.

 V  In un triangolo di perimetro 16 cm, l’altezza relativa alla base è lunga 4 cm. Determina le lunghezze dei lati del triangolo

 

ATTENZIONE – è possibile reperire esercizi sugli argomenti che seguono anche consultando l’indice del terzo anno. È possibile trovare esercizi comuni, dovuti ai richiami relativi ai corrispettivi argomenti.

 

Equazioni e disequazioni irrazionali

 V  \sqrt[3]{x-\sqrt{x+6}}=2

 V  \sqrt{x-3}\geq \frac{x-3}{2}

 V  \begin{cases}\sqrt{x+y}=y-2 \\y-x=5\end{cases}

 

equazioni irrazionali contenenti radicali quadratici

 V  \sqrt{\frac{x+1}{x-1}}=x+1

 V  \frac{x}{\sqrt{x+4}-2}=x-2

 

Equazioni e funzioni con valori assoluti

 V  \begin{cases}\left| x-y-3 \right|=2x \\x-2y=-3\end{cases}

 


 

Disequazioni di secondo grado e di grado superiore

 V  Risolvi la seguente disequazione di secondo grado: 1>{\left( \frac{x-1}{2}-1\right)}^{2}+{\left( \frac{x+1}{2}-1\right)}^{2}

 

lettura sul grafico delle soluzioni di una disequazione

 V  Completa la seguente tabella, supponendo che i grafici proseguano indefinitamente verso gli estremi.Schermata 2016-08-23 alle 11.16.38

 

problemi

 V  geometria analitica Determina per quali valori di k la parabola di equazione (5 – 2k – 3k²)x² – 2kx + 1 ha la concavità rivolta verso l’alto

 V  La somma del quadrato di un numero reale x con il doppio del numero stesso non supera 15. A quale intervallo deve appartenere x?

 

risolvi le seguenti disequazioni di grado superiore al secondo

 V  \frac{{(x-1)}^{2}-{(x-2)}^{2}}{12} +\frac{1}{4}x\geq \frac{1}{3}\left [ {(x+1)}^{2} -{(x-1)}^{2} \right]

 V  x{(4{x}^{2}-1)}^{3}<0

 V  \frac{{x}^{3}-4x}{{x}^{2}+2x-3}\geq 0

 

La circonferenza nel piano cartesiano e nel piano euclideo

dimostrazione

 V  Sia AB un diametro di una circonferenza di centro O e sia r una retta che incontra la circonferenza in due punti C e D. Chiama H e K, rispettivamente, le proiezioni di A e B sulla retta r. Dimostra che CH = DK

 V  Due circonferenze, di centri O e O‘, si intersecano in A e B. Traccia per il punto A una secante che interseca ulteriormente le due circonferenze in P e Q. Chiama H e K le proiezioni di O e O‘ su tale secante. Dimostra che HK = 1/2 PQ

 

Poligoni inscritti e circoscritti, lunghezza della circonferenza e aria del cerchio

problemi

 V  Nella figura al lato, determina l’ampiezza dell’angolo CBD

 V  Nella figura determina le ampiezze degli angoli A, B, C e D del quadrilatero ABCD